第5章 拉马努金与梦中女神（2/2）

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他与哈代共同攻克了困扰数学界数百年的整数分拆问题，也正因如此，年仅 30 岁的拉玛努金成为英国皇家学会有史以来最为年轻的会员之一。曾有人询问哈代在数学领域最为突出的贡献是什么，哈代的回答是：“我发现了拉玛努金。”

然而，天妒英才似乎是一条无法打破的定律。依照婆罗门的传统，长期吃素且频繁投身解题的拉玛努金不幸染上肺结核，在剑桥的最后一年，他几乎都在疗养院里度过。在此期间，还有一段小插曲。一日，哈代乘坐出租车前往疗养院探望拉玛努金，他对拉玛努金说道：“我是搭乘出租车来的，车牌号是 1729，这数字实在无趣，但愿不是不祥之兆。”拉玛努金思索片刻后，立即回应道：“不，这个数字妙趣横生，它可以用两种立方数之和来表示，而且在所有具备两种表达方式的数字之中，1729 是最小的。”后来这类数字便被称为“出租车数”。截至当下，仅仅发现了 6 组“出租车数”，其余 4 组皆是借助超级计算机才得以发现。

由于当时英国正值第一次世界大战，蔬菜短缺致使拉玛努金严重营养不良，再加上战争期间他思乡心切，拉玛努金于 1919 年决定返回印度。而回到印度后短短不到一年，拉玛努金便因病离世，享年 33 岁。哈代听闻这一噩耗，悲痛欲绝，以至于后世有人传言，神发觉拉玛努金在泄露宇宙的秘密，于是过早地将他召回。

在生命的最后一年，吉祥天女在梦中给予拉玛努金最后一个灵感——模西塔函数。当这个公式初次现世时，无人能够理解，即便是当时最为顶尖的数学家也不例外。直至 2012 年，数学家们才惊觉这个公式可用于描述黑洞行为。要知道，当拉玛努金首次提出这一公式时，人们对黑洞还一无所知，人类甚至无法想象出未曾见过的事物。即便以现今的科技水平，对于黑洞的认知也不过是皮毛而已。拉玛努金的这个公式仿佛是直接从上帝的知识宝库中捧出真理，呈现在世人面前。

有趣的是，当年剑桥大学曾盛行一种特殊的“证明”方式，即“拉玛努金觉得是对的”。比如有人提出一个猜想，证明完毕后竟会写上“拉玛努金觉得是对的”。当年剑桥高层费尽周折，才遏制住这股不良风气。

拉玛努金过世后，哈代亲自设计出一种评估个人数学天分的评分表，他自己仅得了 25 分，同时代最为伟大的德国数学家希尔伯特得了 80 分，而拉玛努金则荣获 100 分。希尔伯特便是那位曾宣称爱因斯坦数学欠佳的人，爱因斯坦在这个榜单中的排名恐怕极为靠后。

倘若真如拉玛努金所言，他所有的数学公式皆是在梦中由吉祥天女启迪所得，那么不妨大胆推测，那尚未被证明的三分之二的公式亦应是正确无误的，并且必定蕴含着巨大的奥秘。近百年来，尽管我们目睹科技日新月异，见证一个个强大的科技产品不断涌现，然而在科学家们心中却深知，人类的基础科学实则已陷入严重的停滞状态，重要的物理定律已长达 100 年未曾更新。若没有新型数学工具的诞生，人类面对暗物质、暗能量之谜、黑洞内部构造、多维宇宙等诸多难题，或许将永远无法取得突破，而解开这些谜题的关键，极有可能就隐匿于拉玛努金的那些公式之中。有人推测，在未来，拉玛努金的公式或许与时间旅行、反重力以及无限能源有着极为紧密的关联。他给予了人类一座数学金矿，而目前这座金矿仅仅被开采了十分之一。现今有一批专门的数学家以研究拉玛努金遗留的公式为生，他们的研究领域高度聚焦于拉玛努金的手稿。例如比利时数学家德利涅于 1973 年证明了拉玛努金 1916 年提出的一个猜想，并因此荣获 1978 年的菲尔兹奖，这可是世界上最为崇高的数学奖项之一。

或许拉玛努金真的是神派遣至人间传播智慧的使者，然而愚昧的人类却执着于要求证明与解释过程。他的出现似乎暗示着一种可能，仿佛许多知识是径直飞进他的脑海之中，而这媒介究竟是神，还是宇宙中存在着一个神秘的知识库，令拉玛努金能够直接从中下载知识？牛顿耗费了一生中的后 40 年钻研神学、研究炼金术，试图证明上帝的存在。若再告知你，在迄今最为卓越的科学家中，有 80%以上都具有宗教信仰，都信奉神，不知你是否会感到震惊？在当代人类中最为伟大、最具权威的 20 位物理学家中，唯一在世的物理学家杨振宁先生，在一次采访中被问及世界上是否真的存在造物主时，杨振宁先生回答道：“我想是有的，因为整个世界的结构并非偶然。”特斯拉曾说过：“如果有一天科学家们开始研究非物理现象，那么在未来 10 年中所获得的成就将超越过去的所有。”这不禁令人心生疑虑，难道现今人类的发展方向是错误的吗？

拉玛努金，天生的递归思维

在我们所处的世界中，存在着两种循环模式，一为迭代，一为递归。人类在很早之前便掌握了迭代式循环。就拿我们日常使用的十进制来说，它便是以 10 作为周期展开迭代的。再看那 12 个刻度，竟能精准地模拟无数次日出日落，且毫无差错，仿佛天衣无缝。从宏观层面来看，我们的世界似乎正是以迭代的方式有条不紊地运行着。

然而，自第一颗原子弹爆炸的那一刻起，人类的目光被另一种循环方式——递归所吸引。递归循环引发了核链式反应，瞬间爆发出惊世骇俗的巨大能量。当时，科学家们甚至一度担忧核链式反应的递归进程会永不停歇，进而致使整个地球演变成一颗超级巨型原子弹。万幸的是，这种可怕的情形最终并未成为现实，我们依旧安然无恙地存活于世，继续着平凡的生活，每日为生计奔波忙碌。由此可见，递归是一种极为强大且独特的循环方式。计算机科学领域的大神彼得·多伊奇曾言：迭代乃是人类的思维模式，而递归，则是神的思维模式。他为何会有如此论断呢？原因在于递归跳出了人类习以为常的思维框架，对人类的智商发起了严峻的挑战。

让我们以斐波那契数列为例加以阐释。倘若要用一个表达式来描述它，便是这般模样。或许有朋友会觉得这看起来似乎并不复杂。可要是依据式子的定义进一步拆解剖析，便会发觉事情远非想象中那般简单。在这个式子里，F 加括号会持续地调用自身，最终趋向于一个无穷无尽的过程。

再来看另一个类似的递归过程，其式子呈现出这样的形态。这个式子出现在一封信函之中，而写信之人是印度的一位年轻小伙，收信者则是当时英国数学界的权威哈代。哈代乍一看到这个式子，顿感自己的思维陷入了混沌，仿佛大脑中的“cpU”被瞬间烧坏。这究竟是怎样一个奇特的式子？它看上去简直超乎寻常，令人匪夷所思。可当试着代入几个数字进行验证时，却又发现它似乎是正确无误的。哈代心想，这般奇妙的式子绝不能独自承受其带来的困惑与震撼。于是，他拿着这个式子找到了自己的同事，另一位英国数学家利特伍德，询问其看法。利特伍德看后不禁赞叹道：“我从未见过如此美妙绝伦的式子，能够写下这个式子的必定是一位天才。”

哈代随后给式子的作者回了一封信，信中写道：“你的式子精妙绝伦，然而你该如何证明它呢？”不久之后，哈代便收到了回信。这封信与上一封如出一辙，同样写满了众多稀奇古怪的公式，并且还附带了一句令人惊愕的疑问：“什么叫证明？”哈代瞬间感觉自己的“cpU”再次遭受了沉重的打击。“什么叫什么叫证明？”他满心疑惑，于是决定深入了解这位印度年轻人。一番探寻后，他惊异地发现，这家伙竟真的对“证明”的概念一无所知。原来，他的数学知识几乎全靠自学，更为离谱的是，他甚至连一本像样的数学教科书都没有，唯一的一本高等三角学还是从他人那里借来的。也就是说，他独自一人在数学的海洋中摸索前行，肆意推导，最终得出了上千个奇异独特的数学公式，而且其中绝大多数都是递归形式的。这无疑是一位天生就对递归思维有着极高天赋的人，不，与其说是人，倒不如说是神。这位年轻人便是拉马努金。

拉马努金生活在印度南部的赤贫地区，其贫困程度超乎想象，用“穷到全家共穿一条裤子”来形容他丝毫不为过。好在当时他为一家本地商人记账，而这位商人出于善意，将他的公式寄给了英国的几所大学。幸运的是，哈代正是其中一位收件人。至于其他几位收件人，一看到这些奇怪的公式，又不见证明过程，便毫不犹豫地将其丢进了垃圾桶。哈代则费尽心思将拉马努金带到了剑桥大学。这对于拉马努金而言，既是幸运的开端，却也可能是不幸的起始。

拉马努金极不适应英国的生活。有一次，一位同学前往他的宿舍探望，关切地询问他生活是否有困难。拉马努金回答道：“别的倒还好，只是晚上太冷了。”同学听后倍感诧异，便问他是如何睡觉的。拉马努金随即演示了一番，这一下可把同学惊得目瞪口呆。原来，拉马努金竟然睡在被子的上面，没错，他把被子当作床垫铺在了身体下方。同学见状，既觉好笑又感无奈，随后亲自示范道：“亲爱的，你先掀开被子，然后钻进去，再把被子盖上。对，就是这样，这样就暖和多了。”拉马努金见状，顿时喜出望外，连声道谢：“哎呀，原来还有如此奇妙的方法。”

数年之后，拉马努金功成名就，荣归故里，在印度受到了英雄般的热烈欢迎。然而，令人费解的是，他回到印度不久后便与世长辞，这成为了一个历史未解之谜。或许有人会猜测，他是因为饮用了恒河水而导致不幸离世。

今日我们有幸领略了拉马努金的递归式思维，不得不承认，天生具备这种递归思维的人着实令人惊叹不已。

他因为泄漏宇宙秘密，被神封号# 数学未解之谜

世界上或许唯有他能够以独特的方式探索圆周率的奥秘。从割圆法到无穷级数，人类耗费了长达 1900 年的漫长时光，才将圆周率精确到 100 位小数。然而，这位印度天才拉玛努金随手写下的一个简洁公式，却使圆周率的计算迈向了一个人类难以企及的全新高度。当取 K = 0 时，圆周率便能达到特定的精度；而随着 K 每增加 1，有效数字竟能提升 8 倍之多。如今计算机能够计算出圆周率到 62.8 万亿位，很大程度上依赖于这个公式的变体。更为神奇的是，那个被公认为世界上收敛速度最快的圆周率公式，拉玛努金宣称是印度女神在梦中赐予他的灵感。每当他进入冥想状态，一个个超乎常人想象、如同天书般的数学公式和定理便会自然而然地浮现于脑海之中。

1913 年，英国顶尖数学家哈代收到了一份来自印度的神秘手稿，上面密密麻麻地写满了令人费解的玄学公式。尽管哈代起初无法理解其中深意，但内心却深受震撼，他坚信这必定出自一位与牛顿齐名的天才之手。于是，在哈代的赏识与举荐下，出身贫寒且早早辍学、纯粹依靠自学钻研数学的拉玛努金，有幸踏入剑桥三一学院深造，与华罗庚成为同门师兄弟。

拉玛努金擅长以一种仿若上帝俯瞰众生般的视角来剖析数学。他秉持着宇宙万物皆可由数学阐释的理念，例如他曾巧妙地将圆周率、自然对数、黄金分割整合于一个公式之中，其精妙绝伦之处令常人惊叹不已，而这个公式如今在超弦定理中得以应用，用于证明十一维时空的存在。更令人毛骨悚然的是，他临终前所留下的公式，在 2012 年竟被发现精准地描述了黑洞的行为模式与奇点特征，而彼时的人类对黑洞的认知还极为有限。直至今日，仍有一批数学家以研究拉玛努金遗留的 3900 多个尚未被证明的公式作为毕生的追求与事业。倘若他能享年 99 岁，当今世界的科技究竟会发展至何种令人难以想象的境界，实在是令人不敢妄加揣测。

拉马努金:把苹果放在大家面前，难道还需要证明那是苹果吗？

唯一一个把卷积网络(GpU)，当逻辑网络(cpU)来用的人。

作者认为，在认知体系中，当某专业信息的整体逻辑抽象维度运作达到3^3维及以上时，我们或许能够访问宇宙总信息库中的专业知识，或者说，能够按需生成真理级别的知识。也就是说，神经网络的隐藏层是有限的，但只要我们不断进行运算（迭代），就有可能触达真理，甚至实现触类旁通。换句话说，在信息熵的概念中，存在熵增的最大值和熵减的最小值，这意味着矩阵信息流中的信息具有一个最高的容量上限或有限位数限制。

一种比较让人信服的解释，就是就是你的显意识不断运算一种东西，比如递归思维。你的潜意识就会认为这件很重要，甚至关乎生存时，才会把递归思维自动程序化，就是一种极限逼近向内循环，潜意识就会日夜不停的寻找各种公式，然后以梦的形式，通知你计算结果。由于你对公式的极度热爱与敏感，本来梦醒很快被遗忘的梦中复杂公式，被你一字不差的记了下来。这是为什么能每天稳定梦得到6个公式的原因。6个也是此递归思维自动程序的日常计算量。