第四百六十四章 谢尔宾斯基三角形(分形)(1/1)
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一维是直线、二维是平面、三维是立体。
对于维数的定义,往往想到的是整数,很少有人能想到分数的。
但是谢尔宾斯基就发现了非整数维度的东西。
维度还会有非整数的维度吗?如果有,那维度是如何定义的?
谢尔宾斯基制作了一种特殊的图形,就是谢尔宾斯基三角形这,是一种分形,它是自相似集的例子。制作方法是,取一个实心的等边三角形。沿三边中点的连线,将它分成四个小三角形。去掉中间的那一个小三角形。对其余三个小三角形重复前面的方式。
若设操作次数为n(每挖去一次中心三角形算一次操作),则剩余三角形面积公式为:4的n次方分之3的n次方。
它的豪斯多夫维是log(3)/log(2)≈ 1.585。
谢尔宾斯基垫片的极限图形的面积趋于零,而小图形的数目趋于无穷,作为小图形的边的线段数目趋于无穷,实际上是一个线集。
操作n次后边长r=(1/2)n,三角形个数N(r)=3 n,根据公式N(r)=1/rD,3n=2Dr,D=ln3/ln2=1.585。
所以谢尔宾斯基垫片是1.585。它比普通的一维直线占据了更多空间,但还是没有二维正方形占据的那么多,可以用等比数列的知识求出他的面积是0。